Ma tutti questi angoli sono uguali agli archi AI, questi archi sono uguali alle tangenti AI, e queste tangenti sono date dal seno AI diviso pei rispettivi coseni AK, AC, AL (14. II). Dunque chiamando v la AK, r la AC, e d la AL, la superiore equazione si traduce nella seguente
- n/v = (1 - n)/r - 1/d (alfa)
Ora si conduca il raggio C'EN al punto di emergenza, e rappresentato per EF il raggio emergente, si produca questo stesso in EQ: e poi si ragioni nella seguente maniera come sopra. FEN = n x KEC'. Ma FEN = C'EQ = A'FE+A'C'E; KEC' = A'C'E - A'KE. Per conseguenza sostituendo avremo A'FE + A'C'E = n x A'C'E - n x A'KE; ed n x A'KE = n x AC'E - A'C'E - A'FE = (n - 1.) A'C'E - A'FE, e quindi col solito metodo (14. Nota) n x A'E/A'K = (n - 1.) A'E/A'C' - A'E/A'F'.
Ora trascurando AA', che si suppone brevissima, e dividendo per A'E, quest'ultima equazione si trasmuterà in n/AK = -(n-1)/AC' - 1/AF'.
Chiamisi ora r' la AC', e delta la AF, e riusciremo all'equazionen/v = (n - 1.)/r' - 1/delta' (beta)
Si sommi (alfa) con (beta), e si otterrà 0 = (1 - n)/r - 1/d + (n - 1.)/r' - 1/delta'
e però 1/delta?= (n - 1.)/r' + (1 - n)/r - 1/d = (n - 1.)/r' - (n - 1.)/r - 1/d' ed
1/delta?= (n - 1.)(1/r' - 1/r) - 1/ d' (gamma)
Ora in questa il valore di delta è affatto indipendente dal valore di qualsivoglia angolo, e trovasi in funzione coll'indice di rifrazione n, coi raggi di curvatura r, r', e colla distanza d del punto lucido. Però dee concludersi che, finchè si tratta dei medesimi mezzi, delle stesse curvature, e del medesimo punto lucido, tutti i raggi emergenti si rincontrano in uno stesso punto fisico F, ossia ànno un foco.
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