Se perciò indichiamo con lt la lunghezza totale della sbarra a t gradi, avremolt = l0 + l0(alpha)t = l0(1+(alpha)t) (1)
Il binomio 1+(alpha)t, che è un numero poco diverso da 1, perchè (alpha)t è molto piccolo, in generale, di fronte all’unità, si dice binomio di dilatazione lineare.
Ma la dilatazione ha luogo in tutte le direzioni, e perciò aumenta il volume del corpo. Così un cubo che a 0° ha lo spigolo lungo l0, se si dilata egualmente in tutte le direzioni avrà a t0 come lunghezza dello spigolo lt. Il suo volume iniziale eraV0 = (l0)^3
e invece il volume a t gradi sarà per la (1)
Vt = (lt)^3 = (l0)^3 x (1+(alpha)t)^3
Or se si sviluppa con le regole del calcolo algebrico il cubo (1+(lambda)t)^3, e si tien conto della piccolezza di (lambda)t di fronte all’unità, si può senza errore notevole ritenere che (1+(lambda)t)^3 è sensibilmente eguale a
1+3(lambda)te perciò
Vt = V0(1+3(lambda)t) (2)
Ma se si definisce coefficiente di dilatazione cubica di una sostanza l’aumento di volume di un centimetro cubico per il riscaldamento di 1°, e lo si indica con (beta), si potrà dedurre, come si fece per la (1), cheVt = V0(1+(beta)t) (3)
Si vede subito, per confronto con la (2), che
(beta)=3(lambda)
Cioè il coefficiente di dilatazione cubica è il triplo del coefficiente di dilatazione lineare; e perciò 1 cm.^3 di ferro riscaldato di 1° aumenterà di 36/1000.000 di centimetro cubo.
Aumentando il volume di un corpo per il riscaldamento, e restando costante la massa, ne dovrà diminuire la densità, misurata dalla massa contenuta nell’unità di volume.
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