Un campo affatto nuovo si aperse Archimede con le ricerche sui solidi di rotazione dei quali nessuno s'era prima di lui occupato. Prese egli a considerare i solidi generati dalla rivoluzione delle sezioni coniche intorno ai loro assi, che chiamò cumulativamente col nome di conoidi e di sferoidi, e rispettivamente conoide parabolico ed iperbolico quelli generati dalla rotazione di una parabola e di una iperbole intorno al diametro immobile, e sferoide allungato ed appiattito quelli generati dalla rotazione di una ellisse intorno agli assi maggiore e minore: questi solidi, sia interi che segmentati, egli confrontò coi cilindri e coi coni della stessa base e della stessa altezza. Nelle sue ricerche egli procede dividendo i corpi di rivoluzione mediante piani secanti tra loro paralleli ed equidistanti, ed ottenne con ciò come elementi fra due di quei piani un solido che può considerarsi compreso tra due cilindri, uno inscritto e l'altro circoscritto: la somma dei cilindri maggiori e quella dei minori costituiscono due limiti tra i quali rimane compreso il volume del solido di rivoluzione e che, ravvicinando tra loro le superficie di sezione, possono esser fatti differire quanto poco si voglia tra loro. L'entrare in maggiori particolari circa i molteplici risultati registrati in questo libro ci è vietato dall'indole del presente scritto: ci basti il soggiungere che in esso è fornita una luminosa prova della facoltà che Archimede possedeva in grado eminente di modificare e di adattare il metodo di cui egli si serviva: i suoi procedimenti son vere integrazioni e segnano i primi passi all'invenzione dell'analisi infinitesimale della quale doveva poi gloriarsi il decimosettimo secolo.