Premesse tre proprietà elementari della parabola, che Archimede scrive essere state dimostrate ne' trattati sulle coniche, senza dire se suoi o d'altri, procede alla esposizione di due metodi diversi. Il primo, ch'egli chiama per via meccanica, e col quale trova la superficie del segmento limitato da un arco di parabola e dalla sua corda, appoggiandosi sui teoremi dei momenti statici e del centro di gravità del triangolo già esposti nel primo libro dell'equilibrio dei piani. Nel secondo, puramente geometrico, osservato che il triangolo inscritto nel segmento parabolico (avente cioè per base la base del segmento e per vertice il punto in cui la tangente è parallela alla base) è maggiore della metà di questo segmento, ne conchiude che se si continua la formazione della figura poligonale regolarmente inscritta, la superficie di questa potrà differire quanto poco si voglia da quella del segmento. Egli impiega la somma di una progressione geometrica decrescente: inscrive prima nella parabola un triangolo, poi un altro ancora in ciascuno dei due segmenti rimanenti, ed analogamente nei quattro, otto, sedici e così via che risultano da queste specie di continua bisezione, e trova che la somma di tutti quei triangoli è i quattro terzi del triangolo inscritto, risultato al quale era già pervenuto seguendo il metodo meccanico.
      Più brevemente ancora diremo dei lemmi consistenti in una raccolta di eleganti proposizioni di geometria piana, di certo però non stese da Archimede nella forma che ci fu conservata dagli Arabi, e che verisimilmente sono tratte da altre scritture originali e che non giunsero sino a noi.