Il metodo di esaustione di cui Archimede aveva già fatto così felice uso, e per il quale, lo ripetiamo, egli è giustamente risguardato come il più grande precursore dell'analisi infinitesimale, costituisce pure la base dei nuovi procedimenti; ma in essi è una nozione che per la prima volta comparisce nelle sue opere, quella cioè del momento di una forza rispetto ad una retta e ad un piano: senza farne il nome egli la impiega costantemente. Tradotto in linguaggio moderno il suo metodo consiste nel confrontare due volumi considerati come solidi omogenei e nel mostrare che i pesi dei loro elementi hanno lo stesso momento rispetto ad una retta data: siccome uno dei due volumi è stato scelto in modo che questo momento risultante fosse per esso noto, è noto del pari anche per l'altro. Come fu giustamente osservato, se questa scoperta non trasforma il concetto che già si aveva dell'opera di Archimede, essa la completa e la precisa, e mostra che il grande Siracusano s'era portato nelle vie della scienza moderna assai più innanzi che non si supponesse: essa accresce, se fosse possibile, la nostra ammirazione per il suo genio maraviglioso. Sicchè riceve nuova conferma il giudizio del Leibniz, il quale lasciò scritto che coloro i quali sono in grado di comprendere Archimede, ammirano assai meno le scoperte dei maggiori uomini moderni.
     
      VI.
     
      Sotto il paterno e sapiente regime di Gerone aveva Siracusa raggiunto un grado altissimo di floridezza: quel saggio re, mentre curava da una parte le arti della pace, non trascurava però di munire la sua capitale in modo che potesse resistere agli attacchi, molti dei quali aveva già provato, per modo che la città, oltre ad essere una tra le più ragguardevoli del tempo, e rivaleggiasse con Alessandria per lo splendore degli edifizi pubblici e privati, era pure una fortezza formidabile.