[v. figura 35]Siano due leve AB, CD, divise sopra i lor sostegni E, F talmente, che la distanza EB alla FD abbia doppia proporzione di quella che ha la distanza EA alla FC; ed intendansi in A, C resistenze tra di loro nella proporzione di EA, FC: dico, le potenze che in B, D sosterranno le resistenze di A, C esser tra loro eguali. Pongasi la EG media proporzionale tra EB e FD: sarà dunque come BE ed EG, così GE ad FD ed AE a CF; e così si è posto esser la resistenza di A alla resistenza di C. E perché come EG ad FD, così AE a CF, sarà, permutando, come GE ad EA così DF ad FC; e però (per esser le due leve DC, GA divise proporzionalmente ne i punti F, E) quando la potenza che posta in D pareggia la resistenza di C, fusse in G, pareggerebbe la medesima resistenza di C posta in A: ma, per il dato, la resistenza di C ha la medesima proporzione che la AE alla CF, cioè che la BE alla EG: adunque la potenza G, o vogliam dire D, posta in B, sosterrà la resistenza posta in A: che è quello che si doveva provare.
[v. figura 36]Inteso questo, nella faccia FB del prisma DB sia segnata la linea parabolica FNB, il cui vertice B, secondo la quale sia segato esso prisma, restando il solido compreso dalla base AD, dal piano rettangolo AG, dalla linea retta BG e dalla superficie DGBF, incurvata secondo la curvità della linea parabolica FNB: dico, tal solido esser per tutto egualmente resistente. Sia segato dal piano CO, parallelo all'AD, e intendansi due leve divise e posate sopra i sostegni A, C, e siano dell'una le distanze BA, AF, e dell'altra le BC, CN. E perché nella parabola FBA la AB alla BC sta come il quadrato della FA al quadrato di CN, è manifesto, la distanza BA dell'una leva alla distanza BC dell'altra aver doppia proporzione di quella che ha l'altra distanza AF all'altra CN: e perché la resistenza da pareggiarsi con la leva BA alla resistenza da pareggiarsi con la leva BC ha la medesima proporzione che 'l rettangolo DA al rettangolo OC, la quale è la medesima che ha la linea AF alla NC, che sono l'altre due distanze delle leve, è manifesto, per il lemma passato, che la medesima forza che sendo applicata alla linea BG pareggerà la resistenza DA, pareggerà ancora la resistenza CO. Ed il medesimo si dimostrerà segandosi il solido in qual si sia altro luogo: adunque tal solido parabolico è per tutto egualmente resistente.
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