Sia TL tripla di LI, SL tripla di LP, QL lo sia di LN, ed LP di LO: IP, PN, NO, OL risulteranno eguali. Si prenda in F una grandezza doppia di A, in G se ne prenda un'altra tripla della medesima, in H una quadrupla, e così via; le grandezze, che abbiamo prese, siano quelle segnate da a. E si faccia lo stesso con le grandezze F, G, H, K: infatti, poiché in F la grandezza rimanente, cioè b, è eguale ad A, in G se ne prenda una doppia, in H una tripla, ecc.; e queste grandezze prese siano quelle segnate da b; e allo stesso modo si prendano le grandezze segnate da c, e quelle segnate da d e da e. Tutte le grandezze segnate da a [ossia la loro somma] saranno allora eguali a K; la grandezza composta da tutte le b sarà eguale ad H; quella composta dalle c, sarà eguale a G; quella composta da tutte le d, sarà eguale ad F; ed e sarà eguale ad A. Poiché TI è doppia di IL, I sarà il punto dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le a; e, similmente, essendo SP doppia di PL, P sarà il punto dell'equilibrio di quella composta da tutte le b; e, per la stessa ragione, N sarà il punto dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le c; O lo sarà di quella composta dalle d; ed L [sarà il punto dell'equilibrio] della e. Abbiamo dunque una bilancia TL, alla quale sono appese ad eguali distanze alcune grandezze K, H, G, F, A; e, inoltre, abbiamo un'altra bilancia LI, sulla quale, a distanze similmente eguali, sono appese un altrettanto numero di grandezze, eguali alle predette e disposte nel medesimo ordine: infatti, la grandezza composta da tutte le a, la quale è appesa in I, è eguale alla grandezza K appesa in L; quella composta da tutte le b, la quale è appesa in P, è eguale alla H appesa in P; e, similmente, la grandezza composta dalle c, la quale è appesa in N, è eguale alla G; quella composta dalle d, la quale è appesa in O, è eguale alla F; e infine la e, appesa in L, è eguale alla A. Perciò il centro del composto delle grandezze dividerà le bilance secondo la medesima proporzione: ma uno solo è il centro della grandezza composta dalle grandezze predette: esso sarà dunque un punto comune alla retta TL e alla retta LI; sia esso X. Pertanto, come TX sta a XL, così LX starà a XI, e l'intera TL starà ad LI: ma TL è tripla della LI: perciò anche TX sarà tripla della XL.