E perchè il cerchio si concepisce(1013) esser un poligono di lati infiniti, è necessario che nel suo perimetro siano tutte le direzzioni, cioè infinite; e però vi è quella di qualsivoglia linea retta segnata, la quale non può intendersi esser altra che quella del lato (de gli infiniti che ne ha il cerchio) che ad essa sia applicato: adunque quello del cerchio che alla linea retta si applica non forma angolo con lei; e tale è il punto del contatto. Qui poi non si può dire che se bene(1014) il punto che tocca non contiene angolo con la tangente, tutta via pur lo contenga il punto contiguo conseguente, sì come nel poligono non il lato che si applica alla retta proposta, ma il lato seguente, è quello che l'angolo forma e costituisce; non si può, dico, dir questo, perchè il punto che succede a quel del contatto non tocca la retta, la quale da un sol punto del cerchio, e non da più, vien toccata. Ma nella definizione dell'angolo si ricerca, oltre all'inclinazione, il toccamento ancora; adunque il chiamato angolo del contatto è con errore detto così, nè è veramente angolo, nè ha grandezza alcuna.
      [vedi figura 3203a.gif] [vedi figura 3203b.gif] Sovvienimi anco, oltre a molti altri, haver fatto un discorso in cotal forma. Se, stando ferma la DE, intenderemo la segante AB girarsi sopra 'l punto del segamento C, sì che dallo stato AB trapassi in GF, facendo l'angolo FCE superiore alla CE, dove prima conteneva(1015) l'inferiore ECB, è manifesto, l'angolo BCE andarsi per tal conversione inacutendo e ristringendo in modo, che finalmente la sua quantità si annichili e del tutto svanisca; il che accaderà quando essa retta AB si congiungerà con la DE. Hora, applicando l'istesso discorso all'arco ACB, segato dalla retta GF nel punto C, costituendo gli angoli misti ACG, FCB, se intenderemo essa retta GF girarsi sopra 'l punto C, inacutendo i detti angoli e finalmente trapassando nello stato di OCN, sì che l'angolo inferiore ACG si faccia superiore, come ACO, ciò non comprendo io che possa accadere senza l'annichilazione di essi angoli; la quale annichilazione non può essere se non quando essa retta convertibile non segasse più la curva ACB, il che avviene quando essa si unisce con la tangente DE. Nell'arco dunque e nella tangente non sono angoli, ma la annichilazione de gli angoli.