Roma, 5 gennaio 1636.
     
      Bibl. Naz. Fir. Mss. Gal., P. VI, T. XII, car. 193. - Autografa.
     
      Molto Ill.re et Ecc.mo Sig.r e P.ron mio Oss.mo S.
     
      I continui e cari saluti che mi fa il nostro P. Abbate(1164) da parte di V. S. Ecc.ma, ogni volta m'inviterebbero a scrivere, s'io non havessi risoluto di non la molestare senza particolare occasione; e questa di presente è tale. Mi vien dimandata la demostratione che due o più lati di qual si voglia poligono rettilineo circonscritto al cerchio sieno maggiori dell'arco al quale sono circonscritti; il che da Archimede (per quanto ho letto) è assunto sì bene, ma non provato. Io havevo pensato ad una tale illatione.
      Sia circonscritto ad un dato circolo un triangolo equilatero: questo toccherà il circolo in 3 punti. Sia circonscritto un quadrato pur equilatero: questo lo toccherà in 4 punti, e gl'angoli saranno maggiori e più prossimi alla circonferenza che non erano quelli del triangolo; e di più il perimetro del quadrato sarà minore di quello del triangolo. Così un pentagono toccherà il circolo in più punti, gl'angoli saranno maggiori e più prossimi alla circonferenza, et il perimetro minore che non era quello del quadrato. L'istesso avverrà delli altri poligoni, quali in quanti più punti toccheranno il circolo e quanto haveranno maggiori gl'angoli e più prossimi alla circonferenza, tanto saranno di minor perimetro. Ma quando finalmente il poligono toccherà tutti i punti del circolo, e così non potrà avvicinarsi più, il suo perimetro non sarà minore di quello del circolo, ma eguale; adunque gl'altri poligoni che non toccano tutti i punti del cerchio, e da quello per di fuora hanno gl'angoli più remoti, saranno di maggior perimetro che non è il circolo.