Lemma 2°.
     
      Sia la retta BC eguale alla circonferenza d'un cerchio, e alzata in BC la perpendicolare AB, eguale al semidiametro dello stesso, congiunghinsi i punti A, C. Dunque, se si dicesse BC esser eguale anche al perimetro d'un rettilineo circoscritto al cerchio, intendasi trovato fra detto rettilineo e uno iscritto simile un altro, pur simile, rettilineo, eguale al cerchio. Ora il perimetro di tal rettilineo sarà minore di quello del cerchio: adunque, essendo il triangolo ABC eguale ad un rettilineo circoscritto, potrà il triangolo LBI, minore e simile ad ABC, esser al trovato di mezzo eguale, per il passato lemma, e in conseguenza eguale al cerchio; il che non può essere, perchè è eguale ed anche minore di qualche poligono descritto nel cerchio. Resta dunque che male si dicesse, il perimetro del circoscritto esser eguale alla periferia, e molto meno sarà minore.
     
     
      Corollario. Di qui vedesi dimostrato quello importante principio preso da Archimede, cioè che il perimetro d'un poligono circoscritto sia maggiore della iscritta periferia di cerchio; qual principio nè per natura sua è noto, nè da altri (per testimonio del Clavio) è stato mai legittimamente mostrato, benchè molti (conoscendone il bisogno) si mettessino all'impresa.
     
      Proposizione.
     
      Se a un dato cerchio sia eguale un triangolo, di cui l'altezza sia eguale al semidiametro del cerchio, haverà tal triangolo la base eguale alla circonferenza dello stesso cerchio.
      Ciò è manifesto: perchè se la base sia minore, saria il triangolo eguale a qualche iscritto poligono, per il primo lemma; e se sia maggiore saria, per il secondo lemma, eguale a qualche circoscritto.