Io poi desidero estremamente e godo che V. S. Ecc.ma s'affatichi per ogni maggior perfezzione che dar si possa a i suoi bellissimi Dialoghi del moto, purchè ciò non pregiudichi alla sanità sua. Mi pare ogni ora mille anni di riverirla presenzialmente e godere con agio dei suoi dottissimi discorsi; e ciò succederà facilmente non al mio ritorno alla patria (perchè credo converrammi passar da Perugia), ma con l'occasione che verrò a Fiorenza per altre occupazioni mie, alle quali forse s'accrescerà quella del fare stampar costà le mie ricercate geometriche sopra di Archimede, nè ciò voglio o ardisco fare se prima V. S. Ecc.ma non resti informata almeno in generale del metodo e modo di procedere e dimostrare.
      Quanto alla sodisfazzione che desidera il S.r Viviani per il corollario del primo lemma(854) e del suo didursi dalla prima del sesto, io non ho copiato ad verbum l'opera mia in tal parte, e però nè meno certamente ricordomi della sostanza di esso corollario, ma m'imagino che sia tale.
      Havevo così detto nel lemma. Sia un triangolo rettangolo ABC(855), di cui l'angolo retto B; in esso intendasi un triangolo ABD di egual altezza e di minor base che BC: dico, esser possibile trovar un triangolo LBI simile ad ABC, quale sia eguale o anche maggiore dell'altro ABD. Ciò supposto, se ci figuriamo haver il triangolo ABC il lato AB eguale al semidiametro di un dato cerchio e la base BC eguale alla circonferenza, è manifesto che in esso cerchio si potrà descrivere un poligono regolare, quale, per la prima del sesto (risolvendosi in triangoli di base e di altezza eguali), agguaglierassi ad un triangolo di base eguale a tutte le loro insieme prese e d'altezza pur eguale all'altezza di ciascuno di loro.