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A questo modo si viene a valutare l'angolo (AOP) formato dalla verticale colla retta, che congiunge l'occhio (O) dello spettatore col punto (A) guardato. Dopo si giri orizzontalmente il canocchiale, e si prenda di mira un altro punto qualunque (B) di orizzonte; e si vedrà che l'angolo (BOP) formato parimente dalla verticale (OP) colla retta (OB), che congiunge l'occhio (O) dell'osservatore con quest'altro punto (B) di orizzonte, è precisamente uguale all'antecedente (AOP). Dal che si conclude che sono uguali le due rette orizzontali (AP e BP), congiungenti il piede (P) della verticale coi due punti (A e B) di orizzonte, ai quali si mira. Infatti dal sito (O) dell'osservatore, col filo a piombo, si è abbassata la verticale (OP), la quale è perpendicolare per definizione (I. 4a), al piano dell'orizzonte (ABCD). Dunque sono uguali i due triangoli (AOP, BOP), ciascuno dei quali è formato dalla verticale stessa colle due linee, congiungenti gli estremi di questa con uno dei due punti (A e B) presi di mira. Dacchè sono rettangoli (in P), ànno per cateto comune la verticale (OP), e di più ànno uguali i due angoli (AOP, BOP) misurati col quadrante astronomico. Per conseguenza gli altri due cateti (AP e BP) debbono essere uguali fra loro. Or questo ragionamento può replicarsi per ogni altro punto (C, D,...) dell'orizzonte. Dunque la circonferenza di questo è una curva che, stando alle osservazioni, giace tutta in un medesimo piano (I. 2a) e dista ugualmente con ogni suo punto dal piede (P) della verticale preso nel piano suo.
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