Dimostrazione. Sieno AP e BQ (fig. 18.) le due forze parallele ed inverse, si risolva AP in due (8. II. 1°) parallele cospiranti, una delle quali sia BD uguale e contraria alla BQ. Sappiamo che l'altra OR dev'essere uguale alla differenza che passa fra AP e BD, ossia = AP - BQ, e dev'essere applicata sul prolungamento AO della AB in un punto O tale, che sia AB : AO :: OR : BD. Ciò posto, si rifletta che delle tre forze OR, BD, BQ, alle quali sono state ridotte le forze AP, e BQ, due, cioè BD, e BQ, si elidono a vicenda. Rimane dunque efficace la sola OR; la quale per conseguenza sarà la risultante cercata. Or bene: I. La risultante OR deve cadere fuori della AB: perchè AP, considerata come la risultante di due forze cospiranti BD, OR deve giacere in mezzo ad esse (8. I. 2°.) II. La stessa OR, deve trovarsi dalla parte di AP, ossia della componente maggiore, e cospirare con questa. Dacchè l'opposto non potrebbe avvenire, se non nel caso che si potesse decomporre la BQ in due; una delle quali fosse uguale e contraria alla AP: il che è assurdo, come è assurdo che una componente di due forze parallele superi la risultante. III. Sarà OB : AO :: AP : BQ. Infatti possiamo dire che per costruzione AB : AO :: OR : BD, ossia AB : AO :: AP-BQ : BQ. Dunque componendo otterremo anche quest'altra proporzione AB+AO : AO :: AP-BQ+BQ : BQ. Onde evidentementeOB : AO :: AP : BQ.(5)
IV. Finalmente la risultante OR è uguale alla differenza, che passa fra le due componenti AP e BQ. Perocchè (8. II. 1°) dev'essere OR + BD = AP; ma BD = BQ; per conseguenza sarà OR = AP - BQ.
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