E per conseguenza il centro di gravità della piramide manifestamente starà (II. 3°) nell'incrocicchiamento G di queste due rette.
IV. TEOREMI. 1° Il centro di gravità del triangolo si ritrova a due terzi della retta, che, partendo dal vertice di uno degli angoli, va alla metà del lato opposto.
Dimostrazione. Nel triangolo ABC (fig. 27.) si dividano in M ed N per metà i lati BC, ed AC; e si conducano le rette AM e BN, le quali si incrocicchiano in G; e finalmente per mezzo della MN, si congiunga il punto M col punto N. Poichè questa MN divide per metà tanto la AC come la BC, potremo dire che AC : BC :: CN : CM e però AB ed MN sono parallele fra loro. Per la qual cosa saranno simili i due triangoli AGB, MGN, e si avrà la proporzione AG : GM :: AB : MN. Ma AB : MN :: BC : CM :: 2 : 1. Dunque AG : GM :: 2 : 1. Ond'è, che anche AG : AG + GM :: 2 : 2 + 1; o, ciò che è lo stesso AG : AM :: 2 : 3. E finalmente, chiamando h la retta AM, ed x la sua porzione AG, sarà
x = 2/3 X h
2° Il centro di gravità di un trapezio(8) sta sulla retta che ne taglia a metà le basi, e ad una distanza (da una di queste) uguale al quoto che nasce col dividere per la somma loro la somma dei due prodotti, che si ottengono moltiplicando la terza parte della medesima retta, prima colla sopraddetta base, poi coll'altra.
Dichiarazione. Si chiamino rispettivamente a e b le basi AB, CD (fig. 29.); e si rappresenti per h la retta EF, che divide per metà i lati medesimi. Dico che il centro di gravità del trapezio sta su questa retta EF, e precisamente nel punto G; a tale distanza GE, cui esprimeremo per x, dal suo stremo E, che sussista l'equazione
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