x = h/3 (a+2b/a+b.)
Dimostrazione. A dimostrarlo, principio dall'avvertire che i punti H e K centri di gravità dei rispettivi triangoli ADB, BCD, stanno (secondo il teorema antecedente) a due terzi delle rette DE, BF. Poi conduco, dagli stessi centri H e K, due rette HM e KN parallele ai lati AB e CD: con che nascono due triangoli HMG, KNG evidentemente simili. Potremo quindi asserire, che
KN : HM :: GN : GM.
Cerco i valori di KN e di HM. A tale intento convien notare che i triangoli FBE, ed FKN sono simili fra loro; come sono pur simili gli altri due EDF, EHM. Quindi le due proporzioni BE : KN :: BF : FK; e DF : HM :: DE : HE. Ma sappiamo che BF : FK :: 3 : 1, e che DE : HE :: 3 : 1. Dunque la prima delle ultime due proporzioni ci dà BE : KN :: 3 : 1, e la seconda DF : HM :: 3 : 1. Donde KN = BE/3; ed HM = DF/3. Ma BE=AB/2; DF=CD/2. Però, avendo chiamato a la AB, e b la CD, diremo KN=a/2x3, ed HM=b/2x3. Per la qual cosa la proporzione superiormente stabilita si convertirà in quest'altra a/6 : b/6 :: GN : GM. E poiché la EF fu chiamata h, ed x fu detta la sua porzione GE, sarà anche a : b :: h - x - NF : x - EM. Ma FN : FE :: FK : FB :: 1 : 3; e però FN : h :: 1 : 3, ed FN = h/3. Similmente potremo dire: EM : EF :: EH : ED = 1 : 3; e però EM : h :: 1 : 3, ed EM = h/3. Dunque, sostituendo, a : b :: h - x - h/3 : x- h/3; 'e, riducendo allo stesso denominatore, otterremo la proporzione a :b :: 3h - 3x -h : 3x - h : 2h - 3x : 3x - h. La quale, ove si faccia il prodotto degli estremi e dei medii, darà 3ax - ah = 2bh - 3bx.
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