Quindi 3ax + 3bx = ah + 2bh; 3 (a + b) = h (a + 2b); e finalmente
x = h/3 (a+2b/a+b.)
3° Nella piramide a base triangolare, il centro di gravità si ritrova sulla retta, che congiunge il vertice della medesima col centro di gravità della base, e precisamente in un punto, che dista dal vertice stesso di una quantità uguale a tre quarti della lunghezza della sopraddetta retta.
Dimostrazione.
Se i due centri di gravità H e K (fig. 30.), delle due faccie BCD, ABC della piramide, vengano congiunti colla retta HK, si vede manifestamente sussistere la proporzione AM : DM :: KM : HM. Ond'è che la HK è parallela alla AD. Quindi i due triangoli GHK ed AGD sono simili: e però DG : GK :: AD : HK. Ma AD : HK :: AM : KM : 3 : 1. Dunque DG : GK :: 3:1; ed anche DG : DG + GK :: 3 : 3+1. E, chiamando x la DG, ed h la DK = DG+GK, avremo la proporzione x : h :: 3 : 4; donde finalmente inferiremo che
x = 3/4h.
V. COROLLARII. 1° Il centro di gravità nel circolo, nel parallelogrammo, nella sfera, nel cilindro (fig. 31.), e nel parallelepipedo è il centro stesso di figura.
2° Il centro di gravità del cono (fig. 33.) sta nel suo asse, e precisamente in un punto, che dista dal vertice di tre quarti di tutta la lunghezza dell'asse medesimo.
3° Per determinare il centro di gravità di un poligono qualunque ABCDI (fig. 32.) si principia dal dividere il poligono in tanti triangoli ABC, ACD, ADI, quanti sono i suoi lati meno due. Dopo ciò si trovano i centri di gravità H, K, F, di tutti questi triangoli; e, congiunti i centri di gravità di due triangoli adiacenti ABC, ACD per mezzo di una retta HK, si divide questa in parti inversamente proporzionali alle aree dei due triangoli: con che si trova il centro di gravità F del quadrilatero ABCD. Quindi si congiunge questo centro di gravità con quello del terzo triangolo ADI, per la retta EF; la quale parimenti si divide in parti inversamente proporzionali alle aree del quadrilatero ABCD, e del triangolo ADI. E così via dicendo.
| |
|
