Poste tutte le quali cose potrà dirsi, che la velocità dell'urtato elastico dopo l'urto dev'essere uguale alla sua velocità primitiva più il doppio di quella velocità che acquisterebbe, se fosse anelastico: e che la velocità dell'urtante elastico, dopo l'urto, dovrà uguagliare parimente quella che avea avanti l'urto, diminuita per altro del doppio di quella che perderebbe nell'urto, se fosse anelàstico. Chiamando dunque u la velocità dell'urtante elastico dopo l'urto, ed u' quella dell'urtato parimente posteriore all'urto; rappresentando inoltre con v e v' le loro velocità anteriori all'urto, con m ed m' le loro masse, con w la velocità comune che avrebbero dopo l'urto, se fossero anelastici, con p la velocità perduta nella sola compressione dall'urtante, e con a la velocità acquistata dall'urtato nella compressione; si avrà u = v - 2p, u' = v' + 2a. Resta a trovare il valore di p e di a. Ma questo già lo abbiamo trovato; poichè sappiamo (25. I) dalla formola (alfa) che a = w - v' e dalla formola (?) che p = v - w. Dunque potremo dire che u = v - 2(v - w) = v - 2v + 2w = 2w - v, ed u' = v' + 2 (w - v') = v' + 2w -2v' = 2w - v'. Che se le due sfere si corressero incontro, allora si dovrebbe cangiare il segno al v'. In generale si avrà
u = 2w - v;
(epsilon)
u' = 2w - v';
(zeta)
E questo appunto dovea dimostrarsi.
IV. COROLLARIO. 1° La somma delle forze vive nell'urto rimane costante. Infatti coll'alzare al quadrato le formole (epsilon) e (zeta) si ottiene u2 = 4w2 - 4wv + v2; u'2 = 4w2 - 4wv' + v'2.
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