Moltiplicando la prima di queste due per m, e la seconda per m', e poi sommandole ambedue insieme, avremo le equazionimu2 + m'u'2 = 4w2m - 4wmv + mv2 + 4w2m' - 4wm'v' + m'v'2 =
= 4w2(m + m') - 4w(mv + m'v') + mv2 + m'v'2.
Ma i due primi termini di quest'ultimo membro si elidono fra loro. Dacchè, come sappiamo (25. I), w(m + m') = mv + m'v'; quindi moltiplicando per 4w, potremo anche asserire che 4w2(m + m') = 4w(mv + m'v'.) Sono dunque i sopraddetti due primi termini uguali. Inoltre essi medesimi si trovano con segno contrario. Dunque, facendoli sparire, otteremo finalmentemu2 + m'u'2 = mv2 + m'v'2.
2° La velocità di uno dei due corpi (sia urtante sia urtato) dopo l'urto, si ottiene dividendo per la somma delle masse la somma risultante dalla doppia quantità di moto dell'altro aggiunta al prodotto della propria velocità antecedente all'urto (presa col segno suo) colla differenza, che nasce col sottrarre dalla propria massa la massa dell'altro corpo. Imperciocchè, ove nella formola (epsilon) si voglia sostituire ad w il suo valore dato da (25. I) w = (mv ± m'v') / (m + m') , otterremo u = 2w-v=2.[(mv ± m'v') / (m + m')]-v = (2mv+2m'v'+vm-vm')/(m+m') = (2m'v'+mv-m'v)/ (m+m') E però finalmente avremo la formolau = [2m'v'+v(m-m')]/ (m+m')
(eta)
Si faccia la medesima sostituzione nella formola (zeta), ed evidentemente ne risulterà u' = 2w-v'=2.(mv+m'v')/(m+m')-v' = (2mv + 2m'v' - mv' - m'v')/ (m+m') = (2mv + m'v'-mv')/ (m+m'). In fine
u' = [2mv+v'(m-m')]/ (m+m')
(zeta)
27. Problemi sull'urto dei corpi elastici.
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