Ma sono per ipotesi equivalenti anche i due triangoli ACM ed ACR, descritti in due tempi uguali dal raggio vettore. Saranno quindi uguali anche le aree dei triangoli ACP ed ACR. Ma questi insistono sulla stessa base AC: dunque la retta PR, che congiunge i loro vertici, dovrà essere parallela alla base medesima. E però questessa AC rappresenta la direzione della forza continua.
3° Le velocità del mobile nei diversi punti dell'orbita, cui descrive, in virtù di due forze, una centrale e l'altra tangenziale, stanno fra loro in ragione inversa delle normali condotte dal centro sulle tangenti la curva in quei punti.
Dimostrazione. Supponiamo che il mobile M (fig. 110.) in un piccolissimo tempo descriva l'archetto MR, e in un altro punto dell'orbita descriva l'archetto M'R'. Certamente questi due archetti MR, ed M'R' rappresenteranno le velocità del mobile nei punti M, ed M'. Si conducano ora da C i raggi vettori CM, CR, CM', CR', e da M ed M' le due tangenti MP, M'P', e le due CN e CN' normali rispettivamente a queste tangenti. Le aree dei triangoli MCR, ed M'CN' sono date dalle due equazioni MCR = MR. CN/2; ed M'CR' = MR'. CN'/2. Ma per quello, che abbiamo dimostrato nel teorema primo, queste due aree sono uguali. Dunque MR. CN/2= MR'. CN'/2. Per la qual cosa otterremo MR.CN=M'R'.CN'; e finalmente MR : M'R' :: CN' : CN. E chiamando v, v',... le velocità MR, M'R', ed r, r',... le normali CN, CN', potremo stabilire v : v' :: r' : r.
IV. COROLLARII. 1° Dunque la velocità di un mobile, che corre per un'orbita, allora soltanto sarà uniforme, quando l'orbita sarà circolare.
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