Dimostrazione. La supposizione è che fi: fi' :: r'2: r2. Perciò la formola finale del teorema 3° ci dà l'altra proporzione r'2 : r2 :: r/T2 : r'/T'2. Donde (r3/T2)/ (r'3/T'2), e quindi r3/T'2= r'3/T2, T: T'2 :: r3 : r'3.
6° Le forze centrifughe di due mobili stanno fra loro in ragione diretta delle forze vive, ed inversa dei raggi delle orbite.
Dimostrazione. Fin qui abbiamo considerato le forze centrali applicate ad un sol punto materiale: passando ora a considerarle applicate ai corpi, avvertiamo che la velocità, cui la forza continua fi, in un tempetto piccolissimo t, imprime al mobile di massa m, è uguale (30. II. 1°) a fit. E però se f rappresenta la quantità di moto (2. II. 4°), cioè la forza centrifuga assoluta del detto mobile m, sarà f=mfit. Ma (2°) fi= v2/r. Dunque f=mv2t/r, e per un altro mobile f'=m'v'2t/r'; rappresentando mv2, m'v'2 le forze vive (2.11.6°.) Onde f : f' :: (mv2t/r)/r : (m'v'2t/r')/r :: (mv2/r)/r : (m'v'2/r')/r
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7° Le forze centrifughe sono in ragione diretta delle masse moltiplicate pei raggi, ed inversa dei quadrati dei tempi periodici.
Dimostrazione. Già dimostrando il teorema 3° dicemmo che v2=4pigreco2r2/T2. Perciò la superiore proporzione diventa f : f' :: m/r. 4?pigreco2r2/T2 : m'/r'. 4?pigreco2r'2/T'2 :: mr/T2 : m'r'/T'2.
8° La forza centrale sta alla gravità, come l'altezza dovuta alla velocità di proiezione sta alla metà del raggio.
Dimostrazione. Può confrontarsi la forza centrale alla gravità, che è essa pure una forza continua, purchè suppongasi che la velocità v di proiezione sia quella dovuta al cadere del mobile da una data altezza a. Conosciamo (30. II. 2°) che v2 = 2ga; ma (2°) fi = v2/r, cioè v2 = fir.
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