Questa seconda sarà la forza centripeta e centrifuga relativamente al circolo osculatore. Con tale costruzione otterremo due triangoli simili FGM, LEM; i quali ci daranno la proporzione ME : MF :: LE : FG. Ora chiamisi fi la forza centrale ME, r il raggio vettore MF, f la LE = MC, e q la perpendicolare FG.
Sarà fi : r :: f : q; e però fi = rf/q. Ma la forza centrale f nella curva circolare è valutata (37. III. 2°) da u2/R, quando u indichi la velocità, cui esso imprime, ed R il raggio di curvatura. Dunquefi=r/qR.u2
(zeta)
Per determinare il valore di u si avverta, che la velocità, onde è percorso l'archetto piccolissimo Mm, si può considerare come uniforme, e però uguale a questo archetto diviso pel tempo t; ossia u=Mm/t. Cercando ora il valore di Mm, notiamo che l'area S del triangolo MFm è uguale ad Mn.FG/2: cioè S=Mn.q/2; ed Mn=2S/q. Ma avevamo u=2S/qt. Per la qual cosa esprimendo con S l'area totale o parziale racchiusa nella traiettoria, e con T il tempo impiegato a percorrerla, sarà u=2S/qT, ed u2=4S2/q2T2; e la formula (zeta) si converte in fi=r/qR. 4S2/q2T2; quindi avremo
(= 4S2r/q3RT2
(tau)
formola, che vale per qualsivoglia curva.
2° Dalla proporzione sopra esposta, cioè fi : r :: f : q, risulta f = fiq/r: espressione della forza centrifuga. Ora si può senza errore supporre che, in ogni piccola unità di tempo, il mobile si muova circolarmente attorno al centro di curvatura, e sia dotato della forza centrifuga f, che si conviene a tal moto circolare. Imperocchè una curva qualunque è una somma di archetti circolari piccolissimi, la posizione e grandezza dei quali varia continuamente.
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