E però fi? : ?fi' :: a3/T2.1/r2 : a'3/T'2.1/r'2. Ma per ipotesi a3 : a'3 :: T2 : T'2, ossia a3/T2= a'3/T'2. Dunque
fi? : ?fi' :: 1/r2 : 1/r'2.
3° L'altezza dovuta alla velocità, di cui gode un mobile, che scorre per una curva conica è quarta proporzionale geometrica dopo il parametro e la normale.
Dimostrazione. Già dalla formula (teta) possiamo inferire che u2=fiqR/r. Conosciamo ancora (35. II) che in generale v2 = 2 g a; e però nel caso nostro, chiamando h l'altezza sopra nominata, u2 = 2 fi h.
Quindi 2fih=fiqR/r, ed h=q/2r.R. Ora dalle formule (alfa), e (beta) si ricava R=pr3/2q3.
Dunque h=q/2r.pr3/2q3=pr2/4q2.1/p. Ma la formula (beta) dice n=pr/2q; e però p2r2/4q2=n2. Per conseguenza
h=n2.1/p
(mi)
V. COROLLARII. 1° Dunque nella parabola l'altezza dovuta alla velocità, di cui gode il mobile, è uguale al raggio vettore. imperocchè in tal caso (epsilon) sarà n2 = pr; e quindi la formula (mi) si traduce in h = pr : p = r. La qual cosa significa che il corpo, attratto verso il foco della parabola, avrebbe a percorrere con moto uniformemente accelerato tutta la lunghezza del raggio vettore per acquistare la velocità, della quale si trova dotato in un punto della traiettoria.
2° L'altezza medesima nell'ellisse è minore del raggio vettore. Che (zeta) sarà n2=b2/a2(2ar-r2), ed (gamma) avremo p = 2b2/a.
Onde h=b2/a2(2ar-r2).a/2b2=2ar-r2/2a=r(1-r/2a). In cui siccome r < 2a, sarà anche h < r.
3° Nell'iperbola l'altezza sopraddetta è maggiore del raggio vettore. Poichè in tal curva (epsilon) abbiamo n2=b2/a2(2ar+r2); la formula (epsilon) diventa h=b2/a2(2ar+r2).a/2b2=r(1+r/2a) in cui evidentemente h>r.
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