I. PROPOSIZIONE. Ad altezze crescenti in progressione aritmetica, decresce la densità dell'aria in progressione geometrica.
      Dimostrazione. L'atmosfera può concepirsi divisa in tanti strati orizzontali, ciascuno della medesima spessezza, e di uniforme densità. Or bene: le densità dei successivi strati vengano rappresentate da d1, d2, d3,...; si prescinda da ogni diminuzione di gravità nelle maggiori altezze, e si chiamino p1, p2, p3,... i pesi di questi strati diversamente densi, ed e1, e2, e3,... le loro forze elastiche. Nella fatta ipotesi i pesi dei varii strati staranno fra loro, come le loro densità. Dunque confrontando il primo strato con uno qualunque (cui diremo ennesimo) dei superiori, starà dn : d1 :: pn : p1. Ma per la legge di Mariotte dn : d1 :: en : e1. Dunque en : e1 :: pn : p1. E però starà ancora en+pn:e1+p1 :: en:e1. Se non che la forza elastica di uno strato d'aria si può valutare dalla pressione, che gravita su di esso; e tale pressione risulta da due elementi, cioè dalla forza elastica dello strato immediatamente superiore, e dal peso di questesso. E ciò perchè ogni strato preme col suo peso il sottostante, e questo trasmette al successivo inferiore tale pressione, aggiungendovi il peso suo. Dunque en+pn= en-1, ed e1+p1= pn-1; intendendo per e la pressione, che si esercita sul livello del mare. Ciò posto, l'antecedente proporzione si converte in en-1 : e :: en : e1; donde ricavasi en= e1/e.en-1. Ora dicasi k la frazione e/e1 (che è impropria, perchè e1 < e), e sarà en= 1/k. en-1.