Ne consèguita (Euclide lib. I. prop. IV) che tutte le ipotenuse AP, BP, CP,... debbono essere uguali.
      Dimostrazione della 2a parte. Il centro O del circolo si congiunga con P e poi coi singoli punti della circonferenza per le rette AO, BO, CO,... Queste ultime sono uguali perchè raggi, la OP è comune, e le AP, BP, CP,... sono uguali per ipotesi. Dunque (Euclide lib. I. prop. VIII) tutti i triangoli ABP, BOP, COP,... sono uguali. Sono dunque uguali tutti gli angoli intorno al piede dalla OP, ossia AOP, BOP, COP,... Ma la uguaglianza di AOP a COP, posto che CO sia prolungazione di AO porta con sè (Euclide libro I. prop. XIII) che quei due angoli sieno retti. Dunque tutti gli angoli AOP, BOP, COP,... sono retti; e la OP (Euclide lib. XI. defin. III) è normale al circolo. Ma è anche centrale per costruzione. Dunque il suo estremo P è polo del circolo ABC...
     
      84. Teorema secondo.
      Ora è facile dimostrare ilI. TEOREMA. Qualunque sezione di una sfera è un circolo.
      Dimostrazione. Si possono fare due casi. O il piano secante la sfera passa pel centro, o no. Se vi passa, venga rappresentato da ABC... (fig. 211.); ed ai punti A, B, C,..., presi a piacere sulla curva nata dalla sezione, si conducano sul detto piano dal centro O le rette AO, BO, CO,... Poichè queste sono raggi della sfera, debbono essere tutte uguali. Dunque i punti della curva, alla quale esse pervengono, equidistano tutti da un certo punto O collocato nel piano stesso; cioè (Euclide lib I. defin. XV) questa curva è un circolo.