Ora questo diametro è quello stesso della sfera. Infatti facciamo che non lo sia. Si congiunga, per la OM, il centro O della sfera col punto medio M di questo diametro; ossia col centro comune dei due circoli. La retta OM congiungente sarà (85. II) perpendicolare ad ambidue. Ma due piani, ai quali è perpendicolare una stessa retta, sono (Euclide lib. XI. prop. XIV) paralleli fra loro. Dunque questi due circoli e si tagliano a metà e sono paralleli. Il che essendo assurdo, è assurdo ancora che il diametro comune sia diverso da quello della sfera. Ma se è quello stesso della sfera; i due circoli passano pel centro di questa, e sono massimi.
      Dimostrazione della 2a parte. I circoli massimi passano (85. I. 1°) pel centro della sfera; anzi (84. II. 3°) ànno per centro il centro stesso della sfera. Dunque due circoli massimi si intersecano fra loro al centro della sfera, che è il centro loro comune. Dunque la retta di intersezione è un loro diametro comune. E però si dividono vicendevolmente a metà.
     
      87. Teorema quinto.
      Breve è la dimostrazione delTEOREMA. Se un circolo massimo passa per i poli di un circolo o massimo o minore, divide questo per metà e ad angoli retti.
      Dimostrazione. Il circolo massimo, che passa per i poli di un circolo, passa anche per la retta, che congiunge questi poli; ma tal retta per definizione è centrale e normale al circolo. Dunque anche il circolo massimo è centrale e normale all'altro circolo o massimo o minore, pei poli del quale passa: ossia lo divide a metà e ad angoli retti.