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E poichè n può ricevere qualsivoglia valore, poniamo prima n = p/r, ed otterremo che p2/r con pq/r dà per risultante p; poscia facciamo n = q/r ed avremo che q2/r con pq/r dànno insieme q. Avverto che la supposizione dalla quale partiamo, che cioè p con q dia r, è fondata sull'ipotesi che p e q stieno ad angolo retto; però, quando anche queste cangiano valore e diventano p2/r e pq/r, avranno una risultante che conservi lo stesso rapporto con loro, e per conseguenza sia p, purchè esse medesime seguitino a stare ad angolo retto. Così pure q2/r e pq/r daranno q nell'ipotesi medesime. Conservata quindi alle componenti questa loro posizione relativa, è chiaro che il valore della risultante non dipende dalla posizione assoluta di una delle due. S'immagini pertanto, per chiarezza, che la direzione di p2/r sia la MR (fig. 3.), dovrà la pq/r avere la direzione ortogonale MN. Parimenti fingo che la giacitura di q2/r sia la stessa MR; e la posizione di pq/r dev'essere ortogonale ad MR, e di più invece di combaciare con MN può stare per dritto con questa. È manifesto così, che le due MO, MN, uguali a pq/r, e direttamente opposte, si elideranno a vicenda; e quindi rimarranno vive le sole p2/r, q2/r. Ora queste sono perfettamente cospiranti. Dunque la risultante loro sarà uguale alla loro somma. Ma tale risultante è la risultante e di p2/r con pq/r, ossia di p, e di q2/r con pq/r, ossia di q; e la risultante di p e q l'abbiamo chiamata r. Dunque r = p2/r + q2/r; e però r2 = p2 + q2. Dal che si vede che la r dev'essere rappresentata dall'ipotenusa di un triangolo, i cui cateti rappresentino p e q. Il perchè aggiungendo a tale triangolo l'altro uguale, che compie il parallelogrammo, si vedrà che in questo le linee rappresentanti p e q riescono lati adiacenti, e che l'ipotenusa comune, ossia la risultante cercata, è la diagonale del parallelogrammo medesimo.
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