Ma la risultante delle forze Sp ed Sq è I. uguale alla differenza loro: perchè tale (3. I. 4°) è la risultante di due forze diametralmente opposte; II. agisce nella loro stessa direzione comune, che per costruzione è appunto quella delle forze AP, BQ; III. finalmente cospira colla maggiore. Dunque altrettanto dee dirsi della risultante delle primitive due forze AP, e BQ.
Si vede inoltre a colpo d'occhio, che la direzione di tale risultante non può passare che dalla parte della forza maggiore. Che poi il punto O, pel quale essa traversa la direzione della verga rigida, disti dai punti d'applicazione delle forze in ragione inversa di questa stessa, o in breve che AO : BO :: BQ : AP, si dimostra agevolmente. Conciossiachè la simiglianza dei due triangoli AOS, APH ci dà diritto di affermare, che OS : AO :: AP : PH; ed, essendo PH = AM, ancheOS : AO :: AP : AM.
Come pure la somiglianza degli altri due BOS, BMK ci dà la proporzione BO : OS :: MB : MK; oppure, essendo BM = AM, ed MK = BQ,
OS : BO :: BQ : AM.
Dalla prima proporzione ottengo OS X AM = AO X AP, per la seconda posso dire OS X AM = BO X BQ: quindi AO X AP = BO X BQ; e finalmenteAO : BO :: BQ : AP.
La qual proporzione contiene la soluzione del problema, pel quale si domanda la distanza AO; cioè dove la risultante traversi la direzione della verga rigida. A tal uopo si chiami p la AP, q la BQ, x la AO, l la AB. Sara BO = l+x, e la soprascritta proporzione si tradurrà così: p : q :: l + x : x; donde px = ql + qx; px -qx = ql;
x = ql/ p-q = ql / r
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