Prendendo quindi per unità la forza di gravità di un punto materiale, la somma di tutte le dette forze sarà uguale all'area della figura, di cui si tratta. Ma a tal somma è uguale anche la risultante delle forze parallele e cospiranti. Dunque la risultante generale r sarà uguale all'area del trapezio, che è data dal prodotto della sua altezza per la semisomma dei due lati paralleli; e ciascuna delle risultanti parziali p e q uguaglierà l'area del rispettivo triangolo, vale a dire il semiprodotto della sua altezza per la base. Quindi è che, indicando rispettivamente per a e b le due basi AB e CD, e per k l'altezza MN = XY = RS del trapezio e dei triangoli, avremo
R = k (a+b)/2; p= ak/2; q= bk/2.
Quanto poi alle distanze HM, e KR, si avverta che queste sono proporzionali rispettivamente, com'è manifestissimo, ad EH e BK; e che però come EH = 1/3. DE, e BK = 2/3. BF, così
HM = 1/3. MN =1/3. k; KR =2/3. RS = 2/3. k.
Sostituendo pertanto tutti questi ritrovati valori nella superiore equazione r × x = p × HM + q × KR, essa medesima si tradurrà nella seguente k. (a+b)/2.x = ak/2 x 1/3k + bk/2 x 2/3k; o, ciò che è lo stesso, potrà dirsi k/2(a+b)x = k/3(a + 2b) k/2; donde finalmente trarremo
X = k/3 x (a + 2b) / (a+b.)
Formola similissima a quella che poniamo nel testo; nella quale per altro al valore di h è sostituito il valore di k: perchè, in questa, x rappresenta la distanza del centro di gravità dalla AB; nella superiore, x è la porzione della retta EF (bisecante le basi) intercetta fra il centro di gravità G e la base AB.
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