Rappresenti n un tal coefficiente, e potremo asserire, che la velocità u, posteriore all'urto, dell'urtante quasi elastico è u = v - np: e quella u', della quale godrà dopo l'urto il corpo urtato ugualmente quasi elastico sarà u' = v' + na. Ora, come sappiamo (25. I) dalle formole (alfa) e (beta), a = w - v', p = v - w.
Dunque u = v - n(v - w), u' = v' + n(w - v'.) Inoltre, dalla formola (delta), w=(mv±m'v')/(m+m'). Per.la qual cosa u=v-n[v-(mv+m'v')/(m+m')], ed u'=v'+n[v-(mv+m'v')/(m+m')-v']'. Quindi u=v-n[(mv+m'v-mv-m'v')/(m+m')=v-n[vm'-m'v')/(m+m')=v-nm'(v-v')/(m+m'). D'altra parte avremo l'equazione u'=v'+n[(mv+m'v'-mv'-m'v')/(m+m')=v'+n/mv-mv')/(m+m')=v'+nm(v-v')/(m+m').
Queste due formuleu=v-nm'(v-v')/(m+m')
(tau)
u'=v'+nm(v-v')/(m+m')
(csi)
sono generalissime. Imperciocchè, se in esse si faccia n = 1, si otterrà da ambedue la formola della velocità comune posteriore all'urto nei corpi anelastici. Infatti u=v-m'(v-v')/(m+m')=(mv+m'v-m'v+m'v')/(m+m')=(mv+m'v')/(m+m').
Come pure evidentemente sarà u'=v'+m(v-v')/(m+m')=(mv'+m'v'+mv-mv')/(m+m')=(mv+m'v')/(m+m').
Se poi nelle medesime si faccia n = 2, avremo le formole delle velocità posteriori all'urto nei corpi perfettamente elastici. Dacchè allora u=v -2m(v-v')/(m+m')=(mv+m'v-2m'v+2m'v')/(m+m')=(-m'v+mv+2m'v')/(m+m'). E per ciò u=[2m'v'+v(m-m')]/(m+m').
Come ancora u'=v'+2m(v-v')/(m+m')=(mv'+m'v'+2mv-2mv')/(m+m')=(-mv'+m'v'+2mv)/(m+m').
Onde sarà u'=[2mv+v'(m'-m)]/(m+m').
Inoltre colle medesime due formole si dimostra che nei corpi sì perfettamente come imperfettamente elastici, ed anche negli anelastici, la somma delle quantità di moto anteriori all'urto è uguale alla somma delle quantità di moto posteriori all'urto; cioè mv + m'v' = mu + m'u'. Dappoichè la formola (tau) moltiplicata per m dà mu=m[v-nm'(v-v')/(m+m')]=mv-(nmm'v-nmm'v')/(m+m')=(m2v+mm'v-nmm'v+nmm'v')/(m+m').
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