Archimede dunque nel suo Arenario si propone di dimostrare al re Gelone, che è falsa l'opinione volgare, che il numero dei granelli d'arena esistenti sia infinito; e per stabilire la sua dimostrazione in modo incontestabile, invece di calcolare soltanto la quantità d'arena che può essere contenuta in una sfera uguale al globo terrestre, si propone d'indicare quella dell'arena che potrebbe capire nel mondo intero, se ne fosse pieno. Ma anche qui, per non dar presa ai sofisti, Archimede vuole stimare la grandezza del mondo con tutta la possibile liberalità; e quindi, invece di prendere per raggio della sfera mondiale la distanza del Sole dalla Terra, come fanno i più degli astronomi611, egli vuol appigliarsi alla estimazione, che del diametro della sfera stellata dava Aristarco Samio. E prosegue in questi termini: "Di queste cose parlò nei suoi scritti Aristarco di Samo, confutando le ipotesi degli astronomi: dove conclude dalle sue supposizioni, che il mondo sia molte volte più grande di quello che abbiamo detto. Suppone egli infatti, che così le stelle, come il Sole, rimangano immobili: che la Terra giri secondo la circonferenza di un circolo intorno al Sole, collocato nel centro: e che la sfera delle stelle fisse, collocata intorno al medesimo centro col Sole, sia di tale grandezza, che il circolo, nel quale dice muoversi la Terra, abbia alla distanza delle stelle fisse la medesima proporzione che il centro della sfera ha alla sua superficie".
      Or è manifesto, che con questa supposizione, presa nello stretto senso della parola, il raggio della sfera celeste diventa infinitamente grande: e che questa conclusione non poteva convenire ad Archimede, il quale si proponeva di dimostrare, che il numero dei granelli d'arena contenuti in quella sfera non è infinito.