Ma è palese altresì che l’arco GO misura l’argomento GOA, e che EO è il complemento di GO; dunque EM = EO, come si voleva dimostrare.
      COROLLARIO. SE DUNQUE COL POLO IN E SI CONDUCA UN CIRCOLO MINORE DELLA SFERA CHE PASSI PER O, QUESTO PURE PASSERÀ PER M, E INVERSAMENTE. E L’ARCO DI QUESTO CIRCOLO COMPRESO FRA O ED M STARÀ ALLA SUA CIRCONFERENZA INTIERA, COME L’INCLINAZIONE AP STA A TUTTO IL CIRCOLO MASSIMO. INFATTI, SE NOI FACCIAMO GIRARE INTORNO AL POLO E IL TRIANGOLO AOG FINO A CHE COINCIDA COL SUO EGUALE PFM, SI VEDRÀ CHE A PASSERÀ IN P, G IN F, O IN M, TUTTI I PUNTI DESCRIVENDO ARCHI DI UGUALE AMPIEZZA. E QUEST’AMPIEZZA SARÀ MISURATA DA AP, CIOÈ DALL’INCLINAZIONE.
      PROPOSIZIONE III. TEOREMA. — LE STESSE COSE ESSENDO POSTE (FIG. 4), SE DAL PIANETA M SI ABBASSA L’ARCO MH PERPENDICOLARE SUL CIRCOLO MASSIMO DIAMETRALE COD, DICO CHE QUESTO ARCO SARÀ UGUALE ALL’ARCO SIMILE OK ABBASSATO DA O PERPENDICOLARMENTE SU EM.
      INFATTI, SE PEL PUNTO I, DOVE S’INTERSECANO I CIRCOLI PM, OB, SI CONDUCA L’ARCO EI AL POLO EDEL CIRCOLO APB, I DUE TRIANGOLI OIE EIM SARANNO UGUALI, AVENDO IL LATO EI COMUNE, GLI ANGOLI IN O, M, RETTI, ED EO = EM (PROP. II). ESSI SARANNO SIMMETRICI RISPETTO ALL’ARCO EI. SE DUNQUE DA M SI ABBASSA PERPENDICOLARMENTE MH, E DA O, OK, QUESTI DUE ARCHI SARANNO ANCH’ESSI SIMMETRICAMENTE DISPOSTI RISPETTO AD EI, E FRA LORO UGUALI.
      Corollario. Essendo B polo di OE, l’arco MH passerà per B; ed essendo P polo di EM, l’arco OK passerà per P. Sarà PK = BH, perchè ambo quadranti; quindi PO = BM. La distanza del pianeta dal polo fisso B è dunque ad ogni istante del movimento uguale alla distanza del polo mobile P dal punto O, polo fisso del circolo ABCD.