Quindi la possibilità di rendere retrogrado il pianeta anche in casi, dove l’ippopeda d’Eudosso è insufficiente a questo scopo.
      Se, per esempio, supponiamo P1P2 uguale .ad un ottavo di circonferenza, si trova che la curva descritta dal pianeta ha la forma disegnata approssimativamente sulla figura 19. La massima digressione in latitudine non eccede 4° 1l’: la curva poi occupa in longitudine sull’eclittica 95° ½, ed ha due nodi tripli collocati verso le estremità, a 45° dal centro O. Durante una rivoluzione sinodica, il pianeta percorre innanzi e indietro una rivoluzione intiera su questa curva, dilungandosi dalla sua posizione media O di 47° 2/3, da una parte e dall’altra. La velocità del moto diretto e retrogrado di longitudine quando il pianeta è al centro in O è 1,2929 volte la velocità del polo P1 intorno all’asse AB. Essendo ora la rivoluzione di P1 intorno ad AB eguale alla rivoluzione sinodica di Marte, cioè a 780 giorni, la velocità diurna sinodica di P1 sarà di 360°/780, ossia di 0°,462 ogni giorno; ciò che moltiplicato per 1,2929 dà 0°,597 per velocità diurna del moto retrogrado sinodico del pianeta sulla curva rispetto ad O, prodotto dalle tre sfere del moto sinodico. Ma poichè il punto O dalla sfera del moto zodiacale è portato con moto diretto lungo l’eclittica in ragione di 0°,525 al giorno109, così in ultima analisi il pianeta potrà nelle retrogradazioni moversi contro l’ordine dei segni in ragione di 0°,597 — 0°,525, ossia di 0°,072 al giorno: ciò che basta per rappresentare i fenomeni di Marte con una certa approssimazione.