Secondo questi poli infatti s’immagina la positura delle sfere mobili, essendone questi i soli punti fissi. E disse poi che da quelle sfere restituenti viene ristabilita la prima sfera dell’astro immediatamente inferiore, perchè prendendo questa, in virtù di tale restituzione145, la posizione e la velocità che le si compete, ogni cosa nelle sfere consecutive (dello stesso astro) si ordina a dovere. Come poi questo accada, lo dimostrò Sosigene premettendo alcune cose utili al discorso, di cui ecco qui un sunto.
      9. DATE ESSENDO DUE SFERE OMOCENTRICHE, COME DE, ZH146, PIÙ UNA TERZA ESTERIORE CHE LE CONTENGA, O FISSA, O CONDUCENTE LE ALTRE IN GIRO147: PONIAMO CHE LE DUE PRIME SI RIVOLGANO DI MOTI CONTRARI (SUI MEDESIMI POLI) CON EGUALE VELOCITÀ, OSSIA IN UGUAL TEMPO; DICO CHE TUTTI I PUNTI DELLA SFERA INTERIORE CONSERVERANNO RISPETTO ALLA SFERA PIÙ ESTERNA UNA MEDESIMA POSIZIONE, COME SE LA SFERA INTERIORE NON FOSSE STATA MOSSA. PONIAMO CHE DE SIA MOSSA COME DA A VERSO B: SE ESSA PORTASSE SECO LA MINORE ZH, E QUESTA NON SI RIVOLGESSE IN SENSO CONTRARIO, SI VEDREBBE, AL PASSARE DI D SOTTO B, VENIR Z SOTTO B148 IN EGUAL TEMPO. MA SE LA ZH È MOSSA DALLA DE, E NELLO STESSO TEMPO RUOTA DI MOTO PROPRIO IN SENSO CONTRARIO, DI QUANTO ESSA ZH È MOSSA AVANTI, DI TANTO ESSA STESSA REGREDIRÀ: ONDE, QUANDO D SARÀ SOTTO B, Z RESTERÀ SOTTO A DOV’ERA PRIMA, ED APPARIRÀ LA VERITÀ DELLA PROPOSIZIONE. RIMANENDO DUNQUE FISSA LA AB, È CHIARO QUANTO SI È DIMOSTRATO, E CHE SUCCEDENDO I DUE MOTI CONTRARI, OGNI PUNTO DELLA SFERA INTERIORE RIVOLUTA O CONTROVOLUTA CONSERVERÀ SEMPRE RISPETTO AI MEDESIMI PUNTI DELLA SFERA ESTERNA LA MEDESIMA POSIZIONE: IL CHE NON AVVERREBBE, SE SI RIVOLGESSE SOLTANTO IN UN SENSO. SE POI AB FOSSE IN MOVIMENTO, O NELLO STESSO SENSO DELLA SECONDA SFERA DE O IN SENSO CONTRARIO, LE STESSE COSE AVVERRANNO CIRCA I PUNTI DELLA TERZA SFERA ZH, PURCHÈ, QUESTA INSIEME SIA RIVOLUTA CON DE E CONTROVOLUTA COME PRIMA. INFATTI, SE LA SFERA AB GIRA DA A VERSO B PORTANDO SECO LA DE IN MODO CHE D VENGA VERSO E, LA SFERA DI MEZZO DE SI VOLGERÀ O NEL MEDESIMO SENSO CHE AB, O NEL SENSO OPPOSTO A QUALSIASI VELOCITÀ RISPETTO ALLA AB, MA PERÒ SEMPRE CON PERIODO UGUALE A QUELLO DELLA ZH; E PORTANDO SECO QUESTA, FARÀ CHE IL PUNTO Z ESCA FUORI DALLA DIRITTURA DI A. MA LA TERZA SFERA RIVOLGENDOSI (DA SÈ) IN CONTRARIO, DI NUOVO PORTERÀ Z SOTTO A, E LO STESSO CONTINUAMENTE ACCADENDO, TUTTI I PUNTI DELLA SFERA ZH RIMARRANNO SOTTO I MEDESIMI PUNTI DELLA SFERA AB. COSÌ DUNQUE È DIMOSTRATA LA PROPOSIZIONE PER LE SFERE CHE SI AGGIRANO INTORNO AL MEDESIMO ASSE. LO STESSO VALE PERÒ ANCHE QUANDO NON SI MUOVONO INTORNO AL MEDESIMO ASSE149. PERCHÈ LA COINCIDENZA DEI PUNTI SOTTO I MEDESIMI PUNTI NON È PRODOTTA DAL MOVERSI (QUESTI PUNTI) SOTTO I MEDESIMI PARALLELI, MA DAL VOLGERSI E DALL’OPPOSTO RIVOLGERSI DELLA SFERA CONTENUTA (ZH) RISPETTO ALLA CONTENENTE (AB), PER CUI QUELLA TANTO PERDE DI MOVIMENTO, QUANTO GUADAGNAVA; SIA CHE QUESTI OPPOSTI MOVIMENTI SI FACCIANO IN UN CIRCOLO OBLIQUO, OPPURE IN UN CIRCOLO PERPENDICOLARE (ALL’ASSE INTORNO A CUI SI MUOVE AB).