81 Secondo le moderne espressioni, il diametro del circolo OT essendo uguale a 1- cos i, ossia a 2 sin2 ½ i, sarà il raggio di tal circolo sin2 ½ i; dicendo y la distanza del pianeta dal piano fondamentale, contata negativamente sotto questo piano, avremo l’espressioneY = — SIN2 ½ I. SIN 2 ?.
      82 In linguaggio moderno, che le equazioni della curva sono le due precedentemente trovate, cioè
      x = sin i cos ?
      y = — sin2 ½ i sin 2?,
      DOVE X ED Y RAPPRESENTANO LE COORDINATE RETTANGOLE RIFERITE AGLI ASSI XX E YY: DALLE QUALI SI POTREBBE, VOLENDO, ELIMINAR ?. LA PROIEZIONE DELLA CURVA SUL PIANO ORTOGONALE È DUNQUE IL RISULTATO DELLE COMBINAZIONI DI DUE MOTI VIBRATORI FRA LORO PERPENDICOLARI, DEI QUALI L’UNO COMPIE LE SUE FASI DUE VOLTE PIÙ VELOCEMENTE DELL’ALTRO, COINCIDENDO LE QUATTRO FASI PRINCIPALI DEL MOTO PIÙ LENTO COLLE FASI CENTRALI (O POSIZIONI D’EQUILIBRIO) DEL MOTO PIÙ VELOCE. LA CURVA RISULTANTE È UNA DELLE NOTE LINEE ACUSTICHE DI LISSAJOUS (JAMIN, PHYSIQUE, VOL. II, TAV. III).
      83 Vari interessanti problemi offre la considerazione di questa curva, delle parti di superficie sferica, cilindrica, e conica in essa rinchiuse, dei volumi compresi fra quelle superficie e limitati dalla curva; problemi che tutti danno soluzioni semplici ed eleganti, e dimostrabili colla geometria elementare. Quando l’inclinazione è un angolo retto, la curva offre il caso del problema di Viviani della vôlta emisferica quadrabile, in cui ogni metà
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
      di uno dei lobi rappresenta una delle quattro finestre. Accennerò ancora alla proprietà che hanno gli archi di tutte queste lemniscate sferiche, di poter esser sommati, sottratti, moltiplicati e divisi con regole molto simili a quelle, che servono ad eseguire le medesime operazioni sugli archi ellittici; della quale l’espressione più notabile è questa, che la lunghezza di tutta intiera la lemniscata è uguale a quella di una ellisse, di cui un semiasse è uguale alla corda dell’inclinazione AQ, l’altro semiasse è uguale alla saetta o seno verso AS (fig.