3).Queste lemniscate appartengono inoltre alla classe delle epicicloidi sferiche, e godono di tutte lo loro proprietà Infatti sia AB (fig. 9) l’asse della prima sfera e QR il parallelo descritto dal polo P della seconda; sia diviso per metà l’arco QB in Z, e condotto il parallelo ZZ’ Poi da Q come polo si descriva il circolo minore ZU; e supponiamo, che stando fissa la callotta sferica ZBZ’, l’altra callotta uguale ZQU ruoti sulla medesima senza strisciare nel contatto comune Z. Se colla callotta mobile sia connesso invariabilmente un punto M tale, che si applichi costantemente sulla superficie sferica, e sia lontano da Q un quadrante; il punto M descriverà la lemniscata corrispondente all’inclinazione AQ.
      84 PROCLI DIADOCHI in primum Euclìdis elementorum librum Commentarii ex recoynitione God. Friedlein. Lipsiae in aedibus G. B. Teubneri, 1873, p. 127.
      85I bid., p. 128.
      86 Ibid., p. 112.
      87 V. PROCLO, nell’opera citata, p. 119: v. pure ERONE nelle Definizioni geometriche pubblicate da Friedlein nel Bullettino del Pr. Boncompagni, t. IV, p. 108. Secondo Erone, alla spira si usava dare anche il nome di ?????? (anello). Vitruvio nell’Arch. III, 3 usa il vocabolo spire nel senso di modanature curve anulari nelle basi delle colonne; modanature che sono parti o combinazioni di parti di superficie spiriche.
      88 L’interpretazione qui adottata del passo piuttosto indeterminato di Proclo sulle linee spiriche e sulla forma di queste curve, concorda nel punto essenziale con quella, che come più probabile venne designata da KNOCHE e da MAERKER nel loro pregevolissimo programma scolastico intitolato: Ex Procli successoris in Euclidis Elementa commentariis definitionis quartae expositionem, quae de recta est linea et sectionibus spiricis commentati sunt T. H. Knochius et F. J. Maerkerus, Herefordiae, 1856. Differiscono però i citati autori in questo, che secondo loro la curva, la quale Proclo dice esser più larga nel mezzo e più stretta agli estremi, sarebbe una delle due ovali coniugate, in cui si risolve la sezione spirica, quando il piano segante parallelo all’asse penetra nel vuoto interno dell’anello, dividendo questo in due tronchi separati.