Allo stesso modo, prima che il concetto di moltiplicazione venisse esteso ai numeri frazionari o ai numeri negativi, si sarebbe potuto credere di enunciare un paradosso dicendo che un prodotto può anche essere minore di uno dei suoi fattori. Ed è solo mediante un’ulteriore generalizzazione della nozione di prodotto che i matematici possono ora permettersi di negare, senza ombra di paradosso, l’indipendenza del valore di un prodotto dall’ordine dei suoi fattori, o di parlare persino del prodotto di due punti o del prodotto di una linea per un punto.
A questi esempi, che scelgo quasi a caso tra quelli che ci presenta la storia delle scienze matematiche, sarebbe del tutto inutile aggiungerne altri, poiché, se non erro, essi bastano già a suggerirci una spiegazione del fatto di cui discorriamo, cioè della tendenza delle ricerche che hanno per oggetto l’analisi di concetti astratti a portare a conclusioni che assumono la forma di negazioni delle verità più evidenti e quasi assiomatiche.
Di fatto, la maggior parte delle proposizioni composte mediante queste nozioni astratte deve il suo carattere di evidenza e necessità solo alla circostanza di poter essere interpretata come conseguenza della definizione stessa dei termini che vi figurano.
A volte basta il più piccolo mutamento nel senso che attribuiamo ad uno di questi termini per cambiare completamente la portata dell’asserzione che esse esprimono e per trasformare una proposizione, che prima veniva considerata come «vera per definizione», in un’altra che afferma un fatto o legge che si potrebbe contestare senza contraddirsi.
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