Da un sistema qualsiasi di assiomi o di postulati si può pretendere solo che essi siano indipendenti gli uni dagli altri e compatibili tra di loro. Indipendenti nel senso che nessuno di essi sia deducibile dagli altri; compatibili nel senso che di nessuno di essi si possa dimostrare la falsità mediante gli altri. D’altronde le due condizioni sono ben lungi dall’assumere una eguale importanza. Quando non è soddisfatta la prima, alla teoria si può obbiettare solo di avere dei «fondamenti sovrabbondanti». Constatare una tale imperfezione equivale ad averne trovato il rimedio, che consiste nel sopprimere nella serie degli assiomi e dei postulati quelli che si è riconosciuto essere superflui, annoverandoli, se conservano ancora una importanza sufficiente, tra i teoremi. Ben differente è invece il caso in cui si riconosca che una teoria è basata su premesse tra loro incompatibili e suscettibili quindi di condurre a conseguenze contraddittorie. Allora, in effetti, non si può aver alcuna fiducia nelle dimostrazioni che vengono basate su di esse: quando infatti una proposizione è stata dimostrata in queste condizioni, non è escluso che possa essere dimostrata anche la sua negazione.
Per assicurarsi della compatibilità di una serie di proposizioni, cioè per assicurarsi che nessuna negazione di una di esse possa risultare come conseguenza dell’affermazione delle altre, il solo procedimento che si abbia a disposizione è quello di cui in generale ci si serve per dimostrare che una data proposizione non può essere dedotta da tali o tal altre proposizioni date.
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