Si tratta del procedimento adottato in algebra quando allo stesso segno di operazione vengono date definizioni diverse a seconda delle diverse specie di numeri (interi o frazionari, positivi o negativi, reali o complessi, ecc.) ai quali si vuole estenderne l’uso.
Quando, come nel caso dell’algebra elementare, queste molteplici definizioni di uno stesso segno di operazione non hanno altro fine che quello di conservare un significato per classi sempre più estese di oggetti o di numeri, esse devono naturalmente soddisfare alla condizione di essere riducibili le une alle altre, per le classi meno estese, nei confronti delle quali sono ugualmente valide. Ma quando ciò non avviene, cioè quando le classi di oggetti a cui queste diverse definizioni di uno stesso segno si riferiscono, non rientrano le une nelle altre come casi particolari, queste definizioni sono completamente indipendenti l’una dall’altra: la loro scelta è determinata solo dai vantaggi che esse presentano in quanto permettono di usare uno stesso segno per denotare operazioni che, pur essendo differenti tra loro, godono di proprietà abbastanza analoghe da dar luogo alle stesse regole di calcolo.
A questa stessa categoria di definizioni condizionali, o precedute da ipotesi, appartengono anche quelle che sono state chiamate definizioni per ricorrenza e occupano nell’ambito delle definizioni un posto analogo a quello occupato nell’ambito delle dimostrazioni dal procedimento detto di «induzione matematica». Il loro carattere distintivo consiste nel presentarsi come parti o membri di una serie illimitata di definizioni in ciascuna delle quali si fa ricorso a qualche segno (o gruppo di segni) il cui senso è stabilito dalla definizione precedente, finche si giunge ad una definizione del tipo ordinario da cui dipendono tutte le altre.
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