In altre parole, mentre nel caso del seno di un angolo si può prima dichiarare o definire che cosa esso sia, e poi passare a riconoscere se il seno di un dato angolo sia eguale, o maggiore, o minore del seno di un altro, nel caso dell’area invece tali due procedimenti sono inseparabili, e non possono neppure essere concepiti indipendentemente l’uno dall’altro.
      Il modo ordinariamente impiegato per distinguere i casi dell’una specie dai casi dell’altra consiste nel dire che, mentre, nei casi analoghi a quello del seno, si definisce «esplicitamente» un nuovo segno di funzione, nei casi invece analoghi a quello dell’area il significato del nuovo nome introdotto è determinato soltanto «implicitamente», o, come anche si dice, per mezzo di una «definizione per astrazione».
      Il più antico esempio, che di definizione per astrazione ci presenti la storia del linguaggio matematico, è la definizione della parola «rapporto» (lògos) che si trova posta a base della trattazione delle proporzioni, nel V libro degli Elementi di Euclide.
      Questa definizione, che la tradizione fa risalire a Eudosso, consiste infatti soltanto nel determinare esattamente - sotto una forma applicabile anche al caso delle quantità incommensurabili - il senso della frase «le tali due grandezze hanno lo stesso rapporto delle tali altre due», oppure «il rapporto tra tali due quantità è eguale a (o maggiore, o minore di) quello tra le tali altre due quantità».
      Per mezzo di un tale procedimento, una relazione tra quattro grandezze - la relazione cioè che si esprime dicendo che esse formano una proporzione - viene a poter essere espressa sotto forma di una eguaglianza fra due termini, in ciascuno dei quali figura uno stesso nome, o segno, di funzione (tra due variabili); mentre della parola «rapporto» non è data, e non occorre che sia data, altra definizione oltre quella che consiste nell’attribuire un determinato significato alle frasi in cui si parla di eguaglianza o di diseguaglianza tra rapporti di due quantità.(126)