Quindi nel fine di quei libri, con le Annotazioni prime, insieme con le correzioni degli errori anco della stampa (che, per le suddette cagioni, dovettero accadervi moltissimi), die' con le lettere M ed A i miglioramenti e l'aggiunte; e sieguitò a farlo con le Annotazioni seconde, le quali, pochi giorni dopo esser uscita alla luce quell'opera, vi scrisse con l'occasione che 'l signor don Francesco Spinelli principale di Scalea, sublime filosofo e di colta erudizione particolarmente greca adornato, lo aveva fatto accorto di tre errori, i quali aveva osservato nello scorrere in tre dì tutta l'opera. Del qual benigno avviso il Vico gli professò generosamente le grazie nella seguente lettera stampata, ivi aggiunta, con cui tacitamente invitò altri dotti uomini a far il medesimo, perché arebbe con grado ricevuto le lor ammende:
      «Io debbo infinite grazie a Vostra Eccellenza, perocché, appena dopo tre giorni che le feci per un mio figliuolo presentar umilmente un esemplare della Scienza nuova ultimamente stampata, Ella, tolto il tempo che preziosamente spende o in sublimi meditazioni filosofiche o in lezioni di gravissimi scrittori particolarmente greci, l'aveva già tutta letta: che per maravigliosa acutezza del vostro ingegno e per l'alta comprensione del vostro intendimento, tanto egli è stato averla quasi ad un fiato scorsa quanto averla fin al midollo penetrata e 'n tutta la sua estensione compresa. E, passando sotto un modesto silenzio i vantaggiosi giudizi ch'Ella ne diede per un'altezza d'animo propia del vostro alto stato, io mi professo sommamente dalla vostra bontà favorito, perocché Ella si degnò anco di mostrarmene i seguenti luoghi, ne' quali aveva osservato alcuni errori che Vostra Eccellenza mi consolava essere stati trascorsi di memoria, i quali di nulla nuocevano al proposito delle materie che si trattano, ove son essi avvenuti.